Критерий интегрируемости через суммы Дарбу

$$\forall{\tau_{1}, \tau_{2}}\mathpunct{:}~~ \underline{S}_{\tau_{1}} \leq \overline{S}_{\tau_{2}}$$

Если $\tau_{4} \subset \tau_{1}$, то $\underline{S}_{\tau_{4}} \leq \underline{S}_{\tau_{1}}$ и $\overline{S}_{\tau_{4}} \geq \overline{S}_{\tau_{1}}$ Если $\tau_{3} = \tau_{1} \cup \tau_{2}$, то $\underline{S}_{\tau_{1}} \leq \underline{S}_{\tau_{3}} \leq \overline{S}_{\tau_{3}} \leq \overline{S}_{\tau_{2}}$ $~~~\square$

$f(x)$ - интегрируема на $[a, b]$ $\iff$ $$\iff \forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta_{\varepsilon} > 0}~~ \forall{\tau}\mathpunct{:}~~ \lambda(\tau) < \delta \Rightarrow \overline{S}_{\tau} - \underline{S}_{\tau} < \varepsilon$$

$\Large\implies$ $f(x)$ - интегрируема, значит: $$\forall{ \varepsilon > 0}~~ \exists{\delta > 0}~~ \forall{\tau}\mathpunct{:}~~ \lambda(\tau) < \delta \Rightarrow \forall{\xi}\mathpunct{:}~~ |S(f, \tau, \xi) - I| < \dfrac{\varepsilon}{4}$$ Раскроем неравенство по правилу треугольника, получим: $$I - \dfrac{\varepsilon}{4} < S(f, \tau, \xi) < I + \dfrac{\varepsilon}{4}$$ В правом неравенстве перейдём к $\sup$ по $\xi_{k} \in [x_{k}, x_{k+1}]$, получим: $\overline{S}_{\tau} \leq I + \dfrac{\varepsilon}{4}$ Аналогично с $\inf$ получаем: $I - \dfrac{\varepsilon}{4} \leq \underline{S}_{\tau}$ Следовательно: $$\overline{S}_{\tau} - \underline{S}_{\tau} \leq I + \dfrac{\varepsilon}{4} - I + \dfrac{\varepsilon}{4} = \dfrac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$$ $\Large\impliedby$ Знаем, что: $$\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta_{\varepsilon} > 0}~~ \forall{\tau}\mathpunct{:}~~ \lambda(\tau) < \delta \Rightarrow \overline{S}_{\tau} - \underline{S}_{\tau} < \varepsilon$$ Для верхнего интеграла Дарбу получаем: $$\underline{S}_{\tau} \leq^{1} \inf \overline{S} \leq^{2} \overline{S}_{\tau} \implies \underline{S}_{\tau} \leq^{1} I^{*} \leq^{2} \overline{S}_{\tau}$$ (1 - по лемме выше $\underline{S}_{\tau} \leq \overline{S}_{\tau}$; 2 - $\inf$) Аналогично для нижнего интеграла Дарбу: $\underline{S}_{\tau} \leq I_{*} \leq \overline{S}_{\tau}$ Знаем, что $\forall{\xi}\mathpunct{:}~~ \underline{S}_{\tau} \leq S(f, \tau, \xi) \leq \overline{S}_{\tau}$. Тогда, объединяя с вышесказанным, получаем: $$|S(f, \tau, \xi) - I^{*}| \leq \overline{S}_{\tau} - \underline{S}_{\tau} < \varepsilon ~~~~\square$$